Gürültülü astronomik gözlem verilerinden bir gök cisminin gerçek parlaklığını (μ) ve ölçüm hatasını (σ) Bayesyen çıkarım (Bayesian Inference) yöntemiyle tahmin etmek.
Bayes Teoremi:
P(θ | D) = P(D | θ) · P(θ) / P(D)
| Sembol | Ad | Açıklama |
|---|---|---|
| P(θ|D) | Posterior | Veri gözlemlendikten sonra parametreler hakkındaki bilgi |
| P(D|θ) | Likelihood | Parametreler doğruysa bu veriyi gözlemleme olasılığı |
| P(θ) | Prior | Veri almadan önceki ön bilgi |
| P(D) | Evidence | Normalizasyon sabiti |
| Parametre | Değer | Açıklama |
|---|---|---|
| true_mu | 150.0 | Gerçek parlaklık (simülasyon ground truth) |
| true_sigma | 10.0 | Gözlem hatası / standart sapma |
| n_obs | 50 | Sentetik gözlem sayısı |
| random_seed | 42 | Tekrarlanabilirlik için sabit tohum |
Veri numpy.random.seed(42) ile üretilmiştir:
data = true_mu + true_sigma * np.random.randn(n_obs)Araç: emcee – Python MCMC kütüphanesi (EnsembleSampler)
| Ayar | Değer |
|---|---|
| Walkers | 32 |
| Toplam adım | 2000 |
| Burn-in (atılan) | 500 |
| Thinning | 15 |
Prior: Bilgi içermeyen (flat/uninformative) — 0 < μ < 300, 0 < σ < 50
| Değişken | Gerçek Değer | Tahmin (Median) | Alt (%16) | Üst (%84) | Mutlak Hata |
|---|---|---|---|---|---|
| μ (Parlaklık) | 150.0 | 147.7863 | 146.4261 | 149.0720 | 2.2137 |
| σ (Hata Payı) | 10.0 | 9.4921 | 8.5543 | 10.5313 | 0.5079 |
MCMC yöntemi, ~%6–7 gürültü içeren 50 gözlemlik veri setinden μ için %1.48 ve σ için %5.08 mutlak hatayla parametre kurtarmayı başarmıştır. Flat prior ve yeterli örneklem, likelihoodun posterior'ı gerçek değer etrafında yoğunlaştırmasına olanak tanımıştır.
μ güven aralığı genişliği ≈ 2.65, σ güven aralığı genişliği ≈ 1.98'dir. Ortalamanın standart hatası σ/√n ile ölçeklenirken (n=50 → ≈σ/7.07), varyans tahmini χ² dağılımına dayandığından aynı n için daha geniş kalmaktadır.
Corner plot'taki μ–σ elipsi eksenlere dik durmaktadır → iki parametre arasında anlamlı korelasyon yoktur. Normal dağılım modelinde ortalama ve standart sapma Fisher bilgi matrisinde ortogonal olduğundan bu beklenen bir sonuçtur.
Çok dar prior (örn. 100–110) seçilseydi gerçek değer (150) kapsam dışı kalacağından posterior büyük sapma (bias) gösterirdi.
n=5'e düşürüldüğünde σ/√n ≈ 4.47 → güven aralığı ~3× genişler; prior belirleyici hale gelir.
| Dosya | İçerik |
|---|---|
corner_plot.png |
Parametrelerin marjinal/ortak posterioru |
trace_plot.png |
Walker yörüngeleri (burn-in görünür) |
posterior_histograms.png |
μ ve σ posterior histogramları |
observation_data.png |
Sentetik gözlem verisi |
rapor.pdf |
Tam analiz raporu (grafikler dahil) |
.
├── mcmc_analysis.py # Ana MCMC kodu
├── README.md # Bu dosya
├── rapor.pdf # Grafik ve yorumlar içeren PDF rapor
├── corner_plot.png
├── trace_plot.png
├── posterior_histograms.png
└── observation_data.png
pip install numpy matplotlib emcee cornerpython mcmc_analysis.py